Кстати, а почему "линейное" пространство? Имеется ввиду некая условность (модель), а не реальный мир?

Добавлено через 3 часа 44 минуты
З.ы. и, если можно, то чем линейное пространство отлично от векторного пространства?

Модель, но иногда очень близкая к реальности. Так, четырехмерное вещественное линейное пространство Минковского можно считать реальным физическим пространством, если абстрагироваться от матери его заполняющей. Пространством состояний квантовой системы является комплексное унитарное линейное пространство. Можно привести и другие примеры... Но, разумеется, такое совпадение модели и реальности скорее исключение, чем правило.

Добавлено через 1 минуту
Ничем. Эти термины относятся к одному объекту.

Поле от кольца, как минимум, отличается тем, что в поле для каждого ненулевого
элемента существует обратный элемент по умножению (т.е. элемент, при умноже-
нии на который исходного элемента, получается единичный элемент). В кольце не
для любого элемента, и то при условии, что мы рассматриваем кольцо с единицей.
При исключении из поля нулевого элемента остается коммутативная мультиплика-
тивная группа, а при исключении нулевого элемента из кольца с единицей - оста-
ется мультипликативный моноид, если кольцо без единицы - остается полугруппа.

Пример поля - конечное множество целых чисел {0,1,...,p-1}, где p простое число,
c двумя бинарными операциями сложения и умножения, выполняемых по модулю p,
то есть как (a + b) mod p и (a * b) mod p в привычной арифметике поля действите-
льных чисел. В таком поле для каждого ненулевого элемента а найдется мультипли-
кативно обратный элемент b, такой что (a * b) mod p = 1. А если же p - составное,
то мы имеем дело с коммутативным кольцом с единицей, в нем уже не для всякого
ненулевого элемента а существует мультипликативного обратный элемент. Сущес-
твует только для таких а, что наибольший общий делитель для чисел а и p равен 1.

Ещё вариант -- преподавать. Совместите приятное с полезным, математику изучите, ещё и денег дадут. Кроме шуток, этот путь экстремален, но эффективен.