Нам в начальной школе говорили как заклинание, а в 5 классе уже наглядно объяснили почему это заклинание имеет место, именно с примером про обратное умножение.

К моменту, когда впервые в школе звучит <<на ноль делить нельзя>>, школьник имеет в распоряжении сравнительно небольшой запас чисел, да и рассуждения в духе общей алгебры ему еще не по мозгам. Скорее, возможность деления на ноль воспринимается в этом возрасте как техническая осуществимость. Поэтому элементы заклинания, видимо, неизбежны. А в помощь -- дидактический прием из типично школьных: <<почему на ноль делить нельзя?>> -- <<ну попробуй, раздели хоть 5 на 0>> (кстати, полезно для понимания алгоритма деления)

Olafson
Во-первых, знаний для понимани почему на ноль делить нельзя уже достаточно, когда звучит данное заклинание. Достаточно лишь знать что такое деление. И когда звучит заклинание, что такое деление школьник то уже знает. Во-вторых, для понимания почему на ноль делить нельзя не нужны никакие рассуждения в духе общей алгебры.
Поэтому совершенно не согласен с тем, что

Мои шняжные задачи и есть пример того, как усваиваются знания у 90 процентов людей :-)
Эти задачи ставят народ в тупик, именно потому что они не понимают, отчего, да почему, а просто зазубрили, что вот это можно, а вот это нельзя. Если перенести это на школу, там вместо того, чтобы адекватно дать базу, заставляют заучить кучу информации.
А потом айда лечиться мочой и читать про демонов из другого мира.

В том раннем возрасте, когда начинают запрещать делить (на ноль:)), действительно школьник склонен воспринимать частное как результат деления. Не скажу точно (не помню навскидку), но вряд ли при определении частного в школьном учебнике предварительно доказывается его единственность, безотносительно способа построения этого частного (как это принято в математике вообще). (И это, если уж быть категоричным, слегка непоследовательно. Определение дано, а его корректность может быть и не обсуждается -- единственность, существование частного. К вопросу о том, причем здесь общая алгебра; кстати, почему a X 0 = 0 \forall a -- тоже следует из аксиом кольца, тоже общая алгебра). Вы правы, что формально кроме определения ничего не нужно. Я говорю о том, что маленький школьник далековат от таких категорий.

Olafson
Никто не спорит с тем, что доказать, что на ноль делить нельзя можно исходя из положений общей алгебры. PavelAR уже представил подобное объяснение. Но из этого никак не следует, что для объяснения почему на ноль делить нельзя, нужно обязательно привлекать эту самую алгебру. И я уже говорил, как можно это сделать на доступном школьнику языке. А именно, предложить найти число, которое при умножении на ноль даст делимое. Практически любой школьник довольно быстро поймет, что такое число найти не получится, поэтому и сказать чему равно, скажем, "шесть разделить на ноль" сложно. Лично проверил это на многих детях - все прекрасно понимают и больше не воспринимают деление на ноль как что то страшное и непонятное.
И почему a * 0 = 0 тоже понятно, исходя из школьного понимания умножения, безо всяких аксиом кольца. a*b - это означает b раз сложить a само с собой, то есть a+a+... и так b раз. a*0 значит ноль раз (то есть вообще ни разу) сложить а само с собой, естественно, что результат ноль. Ну а 0*a - это а раз сложить ноль с самим собой. Сколько раз ноль ни складывай с нулем, результат все равно ноль.

<<0 раз>> -- это сложновато. <<Разов>> обычно натуральное число. А число ноль вводится в школе по другому поводу -- через числовую прямую (всякие аналогии с термометрами и прочее).

Olafson
С этим проблем нет. "0 раз" значит вообще ни разу. Один раз взять a - будет a. А "ноль раз", значит вообще ни разу не взять. Естественно, к ничему прибавить ничего - ответ ничего.

Чего то Вы путаете, сдается мне. Термометры, часы и прочее изучаются после натуральных чисел и элементарных операций. Я помню нам вводили число ноль именно как ничего, как отсутствие предметов. Один предмет, а если убрать - ноль предметов.

Это справедливо только для поля с бесконечной характеристикой,
в котором не существует такого конечного количества единичных
элементов 1, которые в сумме давали бы нуль: 1 + 1 + ... + 1 = 0.

Например, в конечном поле GF(2^8), которое является расширени-
ем простого поля GF(2) и имеет характеристику, равную 2, имеем
a+a = 0; a+a+a+a = 0; a+a+a+a+a+a = 0 и так для любого четного
количества слагаемых и для любого a, включая все ненулевые, в
то же время 2*a <> 0, 4*a <> 0, 6*a <> 0 и т.п., для любого нену-
левого a. Я так понимаю, в общем случае бинарные операции сло-
жения и умножения заданные в поле являются самостоятельными
сущностями и они вовсе не обязаны выражаться друг через друга.

В IT-сфере еще круче. Если открыть книгу или student/config guide
Miscrosoft и Cisco, то там одни сплошные заклинания, выраженные
в форме последовательности кликаний мышью или последователь-
ности набираемых в консоли команд с кучей параметров, которые
нужно просто запомнить (ибо так реализовано разработчиками by
design и точка!). Тем не менее, это не мешает Microsoft выдавать
говно-IT-спецам, прилежно вызубривших кликания, статус MCSE,
в кот. последняя буква расшифровывается, как Engineer, а Cisco
- статус CCIE, в кот. последняя буква расшифровывается Expert,
и многие наивные заказчики и работодатели до сих пор искренне
верят в невообразимую квалификацию обладателя MCSE и CCIE,
которого совершенно не смущает мат. вероятность, равная 25 :)

Olafson, а какого курса барышня то была. Может первокурный матан уже забыла?)))

Так как раз первый курс и матан (но непрофильный). А при чем тут первокурсный матан?

На первом курсе же все эти неопределенности объясняют, правило Лопиталя там и т.д. Ну к третьему курсу он, бывает, забывается:) И тогда на доске такое пишут, что "мама не горюй". Тут уж не то что первый курс, а школьная тригонометрия рыдает.

В топике ведь речь о делении на ноль. А неопределенные предельные выражения не связаны с возможностью/невозможностью деления на ноль.

А школьная тригонометрия -- довольно сложная для школьников вещь (часто учащиеся унывают: <<зачем все это?>>)

Вообще, странно. На уровне начальной школы (когда нет такого понятия как действительное число, не знают также, что нельзя бесконечно дробить отрезок и переходить к пределу) все должно быть предельно понятно: нельзя 3 яблока разделить между 0 людьми. В принципе, дети воде должны понять, они ЕЩЕ достаточно дети, чтобы понять такое. Правда в этом случае есть риск появления утверждения: 3 делить на ноль - будет 3.

Если пытаться как-то описывать процесс <<разделить m яблок между n людьми>>, взывая к интуиции младшего школьника, то встроить в это описание <<три яблока между 0 людьми>> сложно, это все равно будет каким-то исключительным случаем.

Для меня деление трех яблок между 0 людей и между (-1) (<<минус один>>) человеков:) непонятно в одинаковой степени.

Я выше в топике высказывался, что на начальном этапе знакомства с математикой предпочтительнее воспринимать арифметические свойства алгоритмически, не вводя абстракций до приобретения школьниками должного опыта. В духе <<на ноль делить нельзя, потому что не работает правило деления>>.