[gav]

Adelaida

и иногда не связана, как в затасканном уже случае с геометриями Лобачевского и Римана

Почему это геометрии Лобачевского и Римана не связаны с реальным миром?! Во-первых, это весьма спорный вопрос - какова геометрия реального пространства, правильнее говоря, какая геометрия наиболее адекватна реальному миру - Евклида или Лобачевского? Ну а во-вторых, даже если реальное физическое пространство адекватнее всего описывается геометрией Евклида (что неправомерно, учитывая некоторые экспериментальные подтверждения теории гравитации (ОТО Эйнштейна), говорящие, что реальное физическое пространство скорее риманово, нежели евклидовое), то все-равно, это отнюдь не свидетельство "нереальности" и излишней абстрактности, оторванности неевклидовых геометрий. Они вполне могут иметь реальные физические интерпретации. Ведь возможность разных осуществлений является общим свойством всякой математической теории. Поэтому даже если бы физическое пространство адекватнее описывалось геометрией Евклида, а не Лобачевского (что, судя по всему, уже неверно), то все равно можно было бы легко представить, что геометрия Лобачевского работает в реальном мире - элементарная геометрия на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (например, псевдосфере) в точности соответствует геометрии Лобачевского. Можно чертить и проверять.

Практическая значимость математики и верифицируемость результатов связаны только с тем, что выбираемые аксиомы и логика "соответствуют" реальному миру.

Не только с этим. Выбор аксиом влияет на богатство математической теории (многообразие выводимых из нее следствий), а их (аксиом) обоснованность (соответствие реальному миру) - на особенности (но не принципиальную возможность!) практического применения математики. Судя по всему, для ЛЮБОЙ достаточно богатой непротиворечивой теории, пусть даже с "нелепыми" с точки зрения здравого смысла аксиомами, можно найти ее реальную физическую интерпретацию. Так что "обоснованность" аксиом (при наличии, естественно, непротиворечивости теории) влияет, по-сути, лишь на то, насколько легко нам будет найти реальную интерпретацию теории. Если в аксиомы геометрии "заложить" аксиомы, соответствующие мнению здравого смысла об окружающем нас пространстве и построить непротиворечивую теорию - мы получим нечто подобное геометрии Евклида. Однако, если при наличии противоположных аксиом (которые тогда уже будут противоречить здравому смыслу) нам удастся также построить непротиворечивую теорию – для нее также можно будет подобрать реальную физическую интерпретацию. Что и произошло с историей неевклидовых геометрий. По случайности, Лобачевский открыл непротиворечивую теорию, которая отличалась от евклидовой геометрии лишь противоположностью одной из аксиом. И некоторые ее выводы казались абсурдным с точки зрения обыденных представлений о пространстве. Но для нее не только удалось найти множество реальных физических интерпретаций, но и, более того, со временем выяснилось, что реальное физическое пространство адекватнее описывается этой «несуразной» для здравого смысла геометрией, а не евклидовой. Так что обоснованность аксиом, несомненно, важная характеристика математической теории, когда речь заходит о ее практических приложениях. Но отсутствие такой обоснованности вовсе не означает, что теория начинает быть совершенно оторванной от реального мира. И вовсе уж нельзя говорить, что верифицируемость и практическая значимость выводов математики определяются лишь исключительно из соответствия принимаемых аксиом реальному миру.
Тоже касается и аксиомы выбора. Ее обоснованность – дело второстепенное. Да, ее принятие приводит к некоторым парадоксам (опять же с точки зрения здравого смысла), вроде того, что из конечного множества кусков шара одного радиуса можно лишь передвижением составить сто шаров того же радиуса. Но главное то, что ее принятие позволяет построить достаточно богатую и достаточно непротиворечивую теорию (к сожалению, в силу известных причин здесь говорить об абсолютной противоречивости не приходится), которая может стать фундаментом всей математики. Так что обоснованность аксиом – не главное для «реальности» знания. Внутренняя непротиворечивость – вот главный стержень любого знания, который не позволяет этому знанию уходить далеко от реального мира. Рассуждения Канта, конечно, трудно оспаривать, однако далеко не всякая система абстракций в нашей голове будет приложима к реальному миру.

Поэтому в математике есть куча спорных теорий, абсолютно логически правильных, но дающих результаты, с которыми не все соглашаются.

Это уже проблемы интерпретации результатов. Математика изучает количественные отношения и пространственные формы. И довольно адекватно описывает эти свойства реального мира. А вот насколько исчерпывающе эти свойства описывают поведения реальных объектов (совокупность свойств которых не ограничивается лишь количественным отношениями и пространственными формами) в конкретных случаях – это уже не задача математики. И если оказывается, что в данных конкретных условиях существенно влияние на рассматриваемый объект каких-либо качественных его свойств, то математический метод отходит на второй план. Но это отнюдь не означает, что, во-первых, этот математический метод не адекватно описывает сферу своей компетенции – количественные отношение и пространственные формы реального мира, а во-вторых, что эта сфера компетенции не является частью реального мира.