"Преподаватель-исследователь" - бывает такая должность сейчас в университетах. Что-то навроде научного сотрудника (скорее, м.н.с., чем какого-нибудь другого). Преподаёшь и должен заниматься наукой, чтобы оправдать своё высокое название.
Должность, всего лишь должность. При увольнении она исчезает.