[Paul Kellerman]

Jottoz, первое приближение ln(90) получал так: взял очевидное приближение 4,5 и подставил его вместо x, стоящего перед exp(-x), и получил вспомогательное уравнение 4,5*exp(-x) = 0,05, откуда легко вывел приближение x = ln(90), и оно оказалось точнее.

Затем, используя первое приближение x1 = ln(90), функцию f(x) = x*exp(-x) - 0,05 и ее производную f'(x) = exp(-x) - x*exp(-x), вручную применил одну итерацию метода Ньютона, и получил второе приближение:
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = ln(90) - (ln(90)*exp(-ln(90)) - 0,05)/(exp(-ln(90)) - ln(90)*exp(-ln(90))) =
= ln(90) + (4,5 - ln(90))/(1 - ln(90)) =
= (4,5 - ln(90)^2)/(1 - ln(90)) =
= 3,5/(1 - ln(90)) + (1 - ln(90)^2)/(1 - ln(90)) =
= (7/2)/(1 - ln(90)) + 1 + ln(90).