1. Решение дифференциального уравнения dx1/dt=0.5-x1 - это множество траекторий, а каждая конкретная траектория определяется исходя из начальных условий. Решение х1(t)=0,5+exp(-t)*(-0.5+x1(0)). Подставляя вместо х1(0) конкретное число - мы получаем конкретную траекторию. А записанное в общем виде дифуравнение определяет множество траекторий.
Такой вид управления возник из развития принципа максимума моим научным руководителем. Математический аппарат писать очень долго, я просто резюмирую факт: по "новому" методу мы получили особое управление такого вида Uoc=0.5-x1. Так получилось что это управление является эксттремальным, т.е. из любой точки пространства оно переводит объект в экстремум статической характеристики, т.е. в точку х1=0,5; х2=0,25.
2. Конечно, вы правы, принцип максимума это необходимое условие оптимальности. Я не правильно сформулировал. Я имел ввиду, что если условия общности положения (УОП) не выполняются в некоторых случаях, то в этих случаях принцип максимума не определяет однозначно управление. dx/dt=A(x)+B(x)*U. Здесь х - вектор состоящий из х1 и х2. В данном случае если на некотором интервале времени скалярное произведение psi(t)*B(x) и его производные по времени тождественно равны нулю, то принцип максимума не позволяет однозначно определить оптимальное управление и встает вопрос об определении особых управлений. И далее было вычислено особое управление Uoc=0.5-x1.
3. И опять же вы правы что релейное управление будет оптимальным в обоих случаях. Но если не учитывать особые управления. Если же их учитывать - характер функции управления U(t) может быть различным (но не обязательно). Это нужно расчитывать.
4. Под численным моделированием я понимаю подстановку в уравнения конкретных чисел. Возможно я путаю понятия, я недавно начал только более или менее понимать что мне надо делать по диссертации. Т.е. я решаю совершенно конкретные задачки, а затем результаты обобщаю на некоторый класс объектов. Например Maple может решать многие вещи в аналитическом (символьном) виде, и в результаты мепловского решения вместо коэффициентов нужно подставить только конкретные числа.
Дак вот, я считал интеграл J=int(x1, 0..T) (где T - нефиксированное) вдоль траекторий соответствующих переключению управлений U=+1 -> U=-1, начальная и конечная точки на статической характеристике были заданы. Далее я считал этот же интеграл вдоль траекторий соответствующих переключению управлений U=+1 -> U=0.5-x1 -> U=-1. Задавался этими же начальной и конечной точками на статической характеристике. Затем менял моменты переключения с управления +1 на управление 0,5-х1. В каждом случае считал интеграл по трём траекториям в зависимости от точки первого переключения управлений. Т.е. сначала система движется по траектории соответствующей U=+1 из заданной начальной точки. Затем происходит переключение управления и система движется под управлением Uoc=0.5-x1. Затем происходит второе переключение и система попадает на траекторию U=-1, которая проходит через заданную конечную точку. Увидел что при некотором значении первой точки переключения интеграл меньше чем при переключении с +1 на -1.
Добавлено через 5 минут
То есть в зависимости от начальной и конечной точки , первое переключение управлений с +1 на 0,5-х1 теоретически должно однозначно определяться. А раз интегральный критерий меньше, то управление более "оптимальное". Однако выразить эту аналитическую зависимость я не могу.
|