Портал аспирантов
 

Вернуться   Портал аспирантов > Общие > Дискуссионный зал > Технические науки

Ответ
 
Опции темы
Старый 22.10.2011, 17:49   #1
teolog
Newbie
 
Регистрация: 22.10.2011
Сообщений: 4
По умолчанию Переключение оптимальных управлений

Здравствуйте. Может кто-то подскажет направление поисков или даст совет?
Суть задачи. Дана НЕлинейная система дифференциальных уравнений второго порядка описывающих динамический объект, а конкретно - нагревательная печь. В систему уравнений входят 3 переменные: управление углом повората заслонокой U, координата х1 (угол поворота заслонки), и координата х2 (температура в печи). Статическая характеристика зависимости х2 (х1) - парабола.
Система: dx1/dt=U, dx2/dt=x1-x1^2-x2.
Известны начальная температура в печи и конечная. Исходя из принципа максимума Понтрягина были найдены управления. Движение в фазовом пространстве происходит следующим образом: сначала заслонка открывается с максимально возможной скоростью (максимальный уровень управления) U=1, затем происходит переключение управления и на втором участке экспоненциальный характер управления заслонкой U=0.5-x1. Затем снова происходит переключение и заслонка закрывается с максимальной скоростью до некоторого угла, при котором в печи устанавливается конечная заданная температура U=-1. Таким образом на интервале движения происходит два переключения управления. Необходимо минимизировать функционал, соответствующий расходу топлива J=int(x1, 0..T).Время переходного процесса не задано и определяется моментом попадания движущейся токи в заданное значение. Численными расчётами было установлено что в зависимости от начального и конечного условия первый момент переключения определяется единственным образом.
Вопрос: как расчитать точку переключения аналитическим образом? или кто-либо даст совет где по этой теме можно что-либо найти?
teolog вне форума   Ответить с цитированием
Реклама
Старый 24.10.2011, 11:56   #2
mbk
Advanced Member
 
Аватар для mbk
 
Регистрация: 22.12.2010
Адрес: Московская область
Сообщений: 311
По умолчанию

Поправьте меня, если я ошибаюсь.
Управление U входит в функцию Гамильтона только в качестве сомножителя при функции, сопряженной к x2(t) (назовем ее psi2(t)). Отсюда следует, что максимум функции Гамильтона по управлению достигается при управлении U(t)=sign(psi2(t)). Таким образом, управление носит исключительно релейный характер, безо всяких экспоненциальных кусков. Только +1 или -1. Предлагаю выяснить этот момент, прежде чем начнем разбираться с нелинейностями системы дифуров.
mbk вне форума   Ответить с цитированием
Старый 25.10.2011, 10:18   #3
teolog
Newbie
 
Регистрация: 22.10.2011
Сообщений: 4
По умолчанию

Функция Гамильтона для рассматриваемого случая будет следующей: H=-x1+psi1*U+psi2*(x1-x1^2-x2). А оптимальным будет кусочно-постоянное управление U(t)=sign(psi1(t)). Однако в рассматриваемой задаче существует множество особых траекторий и управлений вида Uoc=0.5-x1. И для заданных граничных условий можно отыскать среди данного множества траекторий одну.
Предложенное вами управление с релейным переключением между +1 и -1 является оптимальным по времени, т.е. в этом случае система перейдёт за кратчайшее время из одной точки в другую. В моём случае система оптимизируется по координате х1, т.е. физически по расходу топлива. Т.е. надо достичь указанной температуры с наименьшими затратами топлива. В этом случае существуют особые траектории, на которых принцип максимума не даёт однозначного ответа.
Ещё раз повторюсь, в результате численного моделирования было выяснено, что интегральный критерий принимает меньшее значение при переключении управлений U в порядке: +1, 0,5-х1, -1. А не при переключении +1, -1.

И отсюда вопрос: в зависимости от начальной и конечной точки для данной системы дифуравнений в какой момент времени надо переключаться с управления U=+1 на особое управление U=0,5-х1? Или в каких источниках хотя бы что то похожее можно найти?

Оговорюсь, поисковые методы неприемлемы, суть вопроса в том чтобы без поиска найти точку переключения (например заранее вычислив).
teolog вне форума   Ответить с цитированием
Старый 25.10.2011, 12:14   #4
mbk
Advanced Member
 
Аватар для mbk
 
Регистрация: 22.12.2010
Адрес: Московская область
Сообщений: 311
По умолчанию

Все равно непонятно.
Особенно непонятно вот это:
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
в рассматриваемой задаче существует множество особых траекторий и управлений вида Uoc=0.5-x1
Откуда возник именно такой вид управления?
И это непонятно:
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
В этом случае существуют особые траектории, на которых принцип максимума не даёт однозначного ответа.
Я до сих пор думал, что принцип максимума - это необходимое условие оптимальности (если траектория доставляет минимум функционалу качества, то она обязательно удовлетворяет принципу максимума). Все оптимальные траектории (и, возможно, некоторое количество неоптимальных в качестве мусора) в текущей формулировке задачи должны вылавливаться.
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
Предложенное вами управление с релейным переключением между +1 и -1 является оптимальным по времени, т.е. в этом случае система перейдёт за кратчайшее время из одной точки в другую. В моём случае система оптимизируется по координате х1, т.е. физически по расходу топлива.
Релейное управление будет оптимальным в обоих случаях, просто моменты переключения (зависящие от вида psi1(t)), и число переключений будут различными. Функция psi1(t) (знак которой важен) - это решение двухточечной краевой задачи для четырех ОДУ. Вид функционала качества учтется только в ОДУ для psi1(t) (случайное совпадение, которое не облегчает жизнь):
d psi1(t)/dt = -psi2(t)*(1-2*x1(t)) + [добавка],
где добавка=+1 в вашей задаче и добавка=0 в задаче быстродействия.
На принципиальный вид управления функционал качества в данном случае не влияет.
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
в результате численного моделирования было выяснено, что интегральный критерий принимает меньшее значение при переключении управлений U в порядке: +1, 0,5-х1, -1. А не при переключении +1, -1
Что вы понимаете под численным моделированием?
Надеюсь, не перебор вариантов управления?
Я понимаю под численным моделированием решение вышеупомянутой ДКЗ с соответствующими краевыми условиями, откуда однозначно можно получить psi1(t). Точки, в которых она будет менять знак, и есть моменты переключений.

(На первый взгляд, ДКЗ можно осилить только численно, причем основная проблема - не в квадратичной, а в релейной нелинейности.)
mbk вне форума   Ответить с цитированием
Старый 25.10.2011, 17:29   #5
teolog
Newbie
 
Регистрация: 22.10.2011
Сообщений: 4
По умолчанию

1. Решение дифференциального уравнения dx1/dt=0.5-x1 - это множество траекторий, а каждая конкретная траектория определяется исходя из начальных условий. Решение х1(t)=0,5+exp(-t)*(-0.5+x1(0)). Подставляя вместо х1(0) конкретное число - мы получаем конкретную траекторию. А записанное в общем виде дифуравнение определяет множество траекторий.
Такой вид управления возник из развития принципа максимума моим научным руководителем. Математический аппарат писать очень долго, я просто резюмирую факт: по "новому" методу мы получили особое управление такого вида Uoc=0.5-x1. Так получилось что это управление является эксттремальным, т.е. из любой точки пространства оно переводит объект в экстремум статической характеристики, т.е. в точку х1=0,5; х2=0,25.

2. Конечно, вы правы, принцип максимума это необходимое условие оптимальности. Я не правильно сформулировал. Я имел ввиду, что если условия общности положения (УОП) не выполняются в некоторых случаях, то в этих случаях принцип максимума не определяет однозначно управление. dx/dt=A(x)+B(x)*U. Здесь х - вектор состоящий из х1 и х2. В данном случае если на некотором интервале времени скалярное произведение psi(t)*B(x) и его производные по времени тождественно равны нулю, то принцип максимума не позволяет однозначно определить оптимальное управление и встает вопрос об определении особых управлений. И далее было вычислено особое управление Uoc=0.5-x1.

3. И опять же вы правы что релейное управление будет оптимальным в обоих случаях. Но если не учитывать особые управления. Если же их учитывать - характер функции управления U(t) может быть различным (но не обязательно). Это нужно расчитывать.

4. Под численным моделированием я понимаю подстановку в уравнения конкретных чисел. Возможно я путаю понятия, я недавно начал только более или менее понимать что мне надо делать по диссертации. Т.е. я решаю совершенно конкретные задачки, а затем результаты обобщаю на некоторый класс объектов. Например Maple может решать многие вещи в аналитическом (символьном) виде, и в результаты мепловского решения вместо коэффициентов нужно подставить только конкретные числа.
Дак вот, я считал интеграл J=int(x1, 0..T) (где T - нефиксированное) вдоль траекторий соответствующих переключению управлений U=+1 -> U=-1, начальная и конечная точки на статической характеристике были заданы. Далее я считал этот же интеграл вдоль траекторий соответствующих переключению управлений U=+1 -> U=0.5-x1 -> U=-1. Задавался этими же начальной и конечной точками на статической характеристике. Затем менял моменты переключения с управления +1 на управление 0,5-х1. В каждом случае считал интеграл по трём траекториям в зависимости от точки первого переключения управлений. Т.е. сначала система движется по траектории соответствующей U=+1 из заданной начальной точки. Затем происходит переключение управления и система движется под управлением Uoc=0.5-x1. Затем происходит второе переключение и система попадает на траекторию U=-1, которая проходит через заданную конечную точку. Увидел что при некотором значении первой точки переключения интеграл меньше чем при переключении с +1 на -1.

Добавлено через 5 минут
То есть в зависимости от начальной и конечной точки , первое переключение управлений с +1 на 0,5-х1 теоретически должно однозначно определяться. А раз интегральный критерий меньше, то управление более "оптимальное". Однако выразить эту аналитическую зависимость я не могу.
teolog вне форума   Ответить с цитированием
Старый 27.10.2011, 11:30   #6
mbk
Advanced Member
 
Аватар для mbk
 
Регистрация: 22.12.2010
Адрес: Московская область
Сообщений: 311
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
Такой вид управления возник из развития принципа максимума моим научным руководителем. Математический аппарат писать очень долго, я просто резюмирую факт: по "новому" методу мы получили особое управление такого вида Uoc=0.5-x1. Так получилось что это управление является эксттремальным
Моменты переключений, которые вы ищете, должны однозначно определяться из принципа максимума. Если этого не получается, то ваш "новый" метод [скорее всего] не доделан. Поскольку я не знаю этого метода, предлагаю тряхнуть научного руководителя.
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
если условия общности положения (УОП) не выполняются в некоторых случаях, то в этих случаях принцип максимума не определяет однозначно управление.
Если УОП понимать в смысле некоего Олейникова, то общность положения практически равносильна управляемости. Поэтому невыполнение этих условий означает, что существуют такие конечные состояния {x1(T),x2(T)}, в которые систему невозможно привести в принципе, при любых управлениях. Конечно, принцип максимума здесь не даст ответа, ведь множество допустимых управлений - пусто. Если вы именно так понимаете УОП, то неясно, чем ваше управление лучше релейного, ведь ни то, ни другое не приводят систему в заданное состояние? Если же вы приходите в желаемую точку, то у вас - ситуация общего положения, и никакие особые управления не нужны.
Итак, что вы понимаете под УОП?
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
релейное управление будет оптимальным в обоих случаях. Но если не учитывать особые управления.
Даже если учитывать. Особое управление ничем особым не отличается - такая же кусочно-непрерывная функция. Если можно в принципе достигнуть терминального состояния, то релейное управление - оптимально. Если нельзя - то оптимальных управлений нет, так как выбирать не из чего.
Или вы что-то не договариваете.
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
я считал интеграл J=int(x1, 0..T) (где T - нефиксированное) вдоль траекторий соответствующих переключению управлений U=+1 -> U=-1, начальная и конечная точки на статической характеристике были заданы. Далее я считал этот же интеграл вдоль траекторий соответствующих переключению управлений U=+1 -> U=0.5-x1 -> U=-1.
Надеюсь, вы учли, что при управлении U=+1 траектория x1(t)=t+x1(0), а при U=-1 будет x1(t)=-t+С.
На самом деле это неважно. У меня есть подозрение, что в процессе т.н. "численного моделирования" вы сравниваете одну, практически произвольно выбранную, неоптимальную траекторию с другой неоптимальной траекторией, выбранной таким же способом. А потом говорите, что там, где интеграл от x1(t) меньше,
Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
управление более "оптимальное"
Сомнительно это все. Оооочень сомнительно.
Алхимией попахивает.
Кстати, у вас не Душин - научный руководитель?

И еще булыжник в ваш огород.
Ваша модель неадекватно описывает вашу печку.
Согласитесь, угол поворота заслонки не может изменяться в неограниченных пределах. Как минимум, 0 <= x1(t) <= 2*Pi для всех t: 0 <= t <= T, чтобы правильно описать расход топлива (<= - это "меньше или равно"). Из конструктивных соображений, скорее всего, 0 <= x1(t) <= Pi/2 для всех t: 0 <= t <= T.
Это - фазовое ограничение, которое нельзя отбросить как несущественное.
Кстати, задача с фазовым ограничением - это принципиально более сложный объект.
mbk вне форума   Ответить с цитированием
Старый 27.10.2011, 22:23   #7
teolog
Newbie
 
Регистрация: 22.10.2011
Сообщений: 4
По умолчанию

Мой руководитель Хорошавин Валерий Степанович. Диссертация "Прикладные методы качественного исследования особых управлений и структур нелинейных оптимальных систем" 1993 год.

Условиями общности положения используются в смысле Олейникова, только для нелинейных стационарных объектов.

По поводу интеграла и траекторий переключения управления - посмотрите прикреплённый файл. Возможно мы говорим о разных вещах. Если вы меня поняли правильно, то видимо я где-то заблуждаюсь.
А координата 0<=x1<=0.5.
Вложения
Тип файла: pdf IMG_5721_cr_2.pdf (480.0 Кб, 3 просмотров)
teolog вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.10.2011, 16:05   #8
mbk
Advanced Member
 
Аватар для mbk
 
Регистрация: 22.12.2010
Адрес: Московская область
Сообщений: 311
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от teolog Посмотреть сообщение
А координата 0<=x1<=0.5
Ну вот...
Задачка-то, оказывается, изначально с фазовым ограничением.
Что-то надоело мне, знаете ли, в шарады играть.
Вывод такой: информация о переключениях управления находится там же, где возникло ваше особое управление. И нигде более. Принцип максимума, хоть классический, хоть модифицированный, самодостаточен в этом смысле.
К сожалению, книжку под ваш уровень посоветовать не могу.
mbk вне форума   Ответить с цитированием
Старый 28.10.2011, 16:41   #9
gav
Silver Member
 
Аватар для gav
 
Регистрация: 03.09.2004
Сообщений: 894
По умолчанию

Согласен с mbk - теорему Фельдбаума никто не отменял. Ой, прошу прощения, не заметил, что система нелинейна...

Добавлено через 13 минут
Прочитал внимательнее. И вновь согласен с mbk. Что за особые упраления, которые не вылавливает принцип максимума? И что за "численное моделирование"?
gav вне форума   Ответить с цитированием
Ответ

Опции темы

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Вкл.
HTML код Выкл.



Текущее время: 20:21. Часовой пояс GMT +3.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8
Copyright ©2000 - 2021, vBulletin Solutions, Inc. Перевод: zCarot
© 2001—2019, «Аспирантура. Портал аспирантов»
Рейтинг@Mail.ru