Расчеты аннуитетов

[IvanSpbRu]

Коллеги,


Есть ли формулы, выражающие в явном виде ставку процента при заданной сумме кредита, величине аннуитетного платежа и совокупном числе платежей? Рассчитать платеж при заданной ставке и прочих параметрах - не проблема. А вот тут интересует обратная задача - найти ставку по величине платежа. У Четыркина ничего не нашел...

[Kayra]

Это можно сделать в Excele. Размещаете процентную ставку, сумму кредита, число платежей в отдельных ячейках. Используя эти ячейки, считаете величину платежа по формуле ПЛТ(...). Для обратного решения используете опцию "поиск решения" (вкладка Данные в Excel 2007, для активации Параметры Excel --> Надстройки --> Поиск решения): целевая ячейка - величина платежа, задаете конкретное значение, изменяемая ячейка - процетная ставка.

[mbk]

Сообщение от IvanSpbRu

Есть ли формулы, выражающие в явном виде ставку процента при заданной сумме кредита, величине аннуитетного платежа и совокупном числе платежей?

Если число платежей велико, то такой формулы нет. Дело в том, что процентная ставка - это решение r следующего алгебраического уравнения:

где M - сумма (тело) кредита, m - величина аннуитетного платежа, n - число выплат. Видно, что степень уравнения равна n+1. Для n<=3 - еще туда-сюда, по формуле Кардано и т.п. (для извращенцев). Если число платежей больше, то решение в общем случае можно найти только численно (например, методом Рунге-Кутты). Именно это

Сообщение от Kayra

можно сделать в Excele.

[Hogfather]

Сообщение от Kayra

Для обратного решения используете

Функцию "СТАВКА"

[IvanSpbRu]

Спасибо, коллеги.

Уточню: про неразрешимость алгебраического уравнения степени выше 4 в радикалах я в курсе Но при этом есть вполне себе удобная приближенная формула для расчета IRR (где тоже, как правило, степень выше 4). Вот мне хочется надеяться на наличие такой явной приближенной формулы и для ставки. Увы, видимо надежды беспочвенные...

[mbk]

Сообщение от IvanSpbRu

Уточню: про неразрешимость алгебраического уравнения степени выше 4 в радикалах я в курсе

Ну извиняйте! Каков вопрос, таков и ответ. Телепаты все в отпуске, и откуда мне знать, что вам

Сообщение от IvanSpbRu

хочется надеяться на наличие такой явной приближенной формулы

?

Ладно, хотите приближенную - будет вам приближенная. Берем уравнение из поста №3. Преобразуем его к такому виду:

Левую часть раскладываем в степенной ряд в окрестности нуля. Я выпишу только четыре слагаемых.

Единица (о, счастье!) сокращается. Случай r=0 мы не рассматриваем, поэтому на r можно смело поделить левую и правую части.
Я удержу слева только два слагаемых. Если не хватит точности, можете оставить и третье, но тогда придется решать квадратное уравнение. Итак,

где r* - приближенное решение, откуда получаем


Несколько замечаний:
1) r - это доля, т.е., например, для 10% будет r=0,1;
2) я мог налажать с арифметикой, поэтому - просьба проверить выкладки;
3) следует помнить, что в исходной формуле вид процента определяется периодичностью выплат. Если например, платежи совершаются через год, тогда r - это процент годовых, а если через месяц, тогда - процент месячных (гусары, молчать!!111). Поэтому и плясать надо от периодичности выплат (раз в месяц), а итоговый пересчет месячных в годовые в большинстве случаев - банальное умножение на 12 (т.е. простые проценты);
4) для контроля точности можно посчитать невязку: снести в одну сторону слагаемые из поста №3 и подставить r* в получившееся соотношение. Ясно, что нулю оно уже равно не будет, но велико ли отклонение от нуля? Это даже интересно.
В принципе, r - число маленькое, степень его убывает быстро, поэтому точности должно хватить.

Так что пользуйтесь на здоровье! Если не будет работать - пишите, доработаем напильником!

[IvanSpbRu]

mbk, спасибо большое!

Вот только так сильно в моих интеллектуальных способностях сомневаться не стоит:

Сообщение от mbk

1) r - это доля, т.е., например, для 10% будет r=0,1;

Впрочем, с другой стороны, поделом мне, про Маклорена мог бы сам догадаться...

[mbk]

Дабы юные математики прониклись красотой решения из поста №6, для сравнения предлагаю "лобовой" путь получения другого приближения для r*. Исходную формулу переписываем в виде

Вторую скобку раскладываем по формуле бинома Ньютона:

Чтобы линейно выразить отсюда приближенное значение r, я вынужден пожертвовать всеми членами разложения, кроме первых двух. Видно, что из бинома отхвачен довольно значительный кусок. В предыдущем же варианте мне удалось сохранить даже вторую степень r, а в силу знакопеременности ряда модуль его остатка не превышает абсолютного значения четвертого члена (того, в котором куб r) - это по признаку Лейбница.

Теперь вопрос: какой вариант точнее?